Mathematik erleben

Diese Seite enthält Studienarbeiten aus den Studiengängen Elektrotechnik und Informatik der Hochschule Aalen.


Hinweise zum Einsatz der Java-Applets:

  • Öffnen Sie das Applet über den jeweiligen Link (Achtung: nur Internet Explorer) oder laden Sie die zip-Datei mit allen Applets herunter und entpacken Sie sie.
  • Auf Ihren Rechner muss Java installiert sein (Java kann kostenlos von der Seite https://www.java.com/de/download/ heruntergeladen werden - wählen Sie die Version für Ihr Betriebssystem).
  • Wählen Sie in der Systemsteuerung Ihres Betriebssystems Java aus, reduzieren Sie im Reiter "Sicherheit" die Sicherheitsebene auf "Hoch" (weniger geht nicht mehr) und fügen Sie den Pfad zum Verzeichnis mit den entpackten Applets zur Ausnahmeliste hinzu.
  • Wenn Sie die Applets heruntergeladen haben, öffnen Sie die html-Datei im Unterverzeichnis mit dem gewünschten Applet mit dem Internet Explorer (bei allen anderen gängigen Browsern werden Applets inzwischen leider vollständig blockiert).
  • Sie müssen zunächst "Geblockte Inhalte" zulassen und anschließend nochmals "Das Risiko akzeptieren und diese Anwendung ausführen" (Häkchen setzen und ausführen). Erst dann erscheint das Start-Icon des jeweiligen Applets und Sie können es starten.

Es tut mir leid, dass all dies so umständlich geworden ist, aber inzwischen sind Applets wegen ihrer Risiken gefürchtet. Es gibt daher keinen einfacheren Weg mehr (früher konnte man sie mit einem beliebigen Browser einfach anklicken). Nach Bestehen all dieser Mutproben wünsche ich Ihnen aber viel Freude und Aha-Erlebnisse mit den Simulationen. Ich weiß von keinen Risiken, kann aber keine Haftung übernehmen.

Dieses Applet stellt wahlweise die Sinus- und Cosinusfunktion, die zugehörigen Hyperbelfunktionen, Polynome 2. bis 4. Grades, die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus jeweils zusammen mit ihrer Ableitung dar. Mit Schiebereglern können Parameter verändert werden - so erkennt man ihre Bedeutung. Ausserdem soll das Applet zeigen, dass die Ableitungsfunktion an jeder Stelle x die Steigung der Tangente der Ausgangsfunktion darstellt.


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Dieses Applet stellt wahlweise die Sinus- und Cosinusfunktion, die zugehörigen Hyperbelfunktionen, Polynome 1. bis 3. Grades und die e-Funktion jeweils zusammen mit der zugehörigen Integralfunktion grafisch dar.

Wichtige Parameter können mit Schiebern verändert werden – so erlebt der Nutzer interaktiv, welche Bedeutung diese Parameter haben. Das Applet verfolgt zwei Ziele: 

  • es soll die wichtigsten Eigenschaften der betrachteten Funktionen verdeutlichen und ein qualitatives Verständnis für die Bedeutung der verschiedenen Parameter wecken – für Erläuterungen dazu wird auf das Applet "Grundfunktionen und ihre Ableitungen" verwiesen.
  • es soll die Begriffe "bestimmtes Integral", "Integralfunktion" und "Stammfunktion" visualisieren und Zusammenhänge und Unterschiede verdeutlichen – dies wird in den Übungen vertieft.


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Dieses Applet stellt verschiedene Funktionsgleichungen für x(t) und y(t), sowie die daraus resultierende Kurve in der xy-Ebene grafisch dar (t ist ein Parameter wie z.B. die Zeit). Die Form von x(t) und y(t) kann mit Schiebereglern verändert werden - so erlebt der Nutzer interaktiv die Zusammenhänge. Es werden zwei Ziele verfolgt:

  • Es soll verdeutlicht werden, wie die Kurve in der xy-Ebene aus den Funktionen x(t) und y(t) entsteht.
  • Der Zusammenhang zwischen den Eigenschaften von x(t) und y(t) einerseits und der Form der Kurve andererseits soll gezeigt werden.


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Dieses Applet soll verdeutlichen, wie Kurven in Polarkoordinaten entstehen und wie sie in einem kartesischen Koordinatensystem aussehen. Bei Kurven in Polarkoordinaten ist r als Funktion des Parameters φ gegeben (r(φ)). Für jeden Wert von φ erhält man so einen Punkt in der xy-Ebene im Abstand r vom Ursprung, in Richtung φ. Verschiedene Funktionen r(φ) können ausgewählt werden und Parameter in r(φ) können mit Schiebern verändert werden- so erleben Sie interaktiv, welche Bedeutung diese Parameter haben.


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Kegelschnitte (Ellipsen, Kreise, Hyperbeln und Parabeln) können durch algebraische Gleichungen 2. Grades der Form ax² + bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 dargestellt werden. Sie sind damit ein Beispiel für implizite Kurvendarstellung (d.h. nicht nach y aufgelöst). In dem Applet können die Parameter a bis f mit Schiebern verändert werden – so erlebt der Nutzer interaktiv, welche Bedeutung diese Parameter haben.

  • Für b=0 sind die Hauptachsen parallel zur x- und y-Achse, andere Werte führen zu einer Drehung um den Winkel α mit tan (2α) = b / (a-c)
  • Gilt 4ac-b²>0, so handelt es sich um eine Ellipse (oder es gibt nur einen Punkt oder gar keine reelle Lösung). Für a=c erhält man als Sonderfall einen Kreis.
  • Gilt 4ac-b²<0, so handelt es sich um eine Hyperbel (als Sonderfall zwei sich schneidende Gerade).
  • Gilt 4ac-b²=0,so handelt es sich um eine Parabel (als Sonderfälle können auch ein oder zwei parallele Geraden oder keine reellen Lösungen auftreten).
  • d und e verändern vor allem Mittelpunkt und Hauptachsen (Größe) der Kegelschnitte, f nur die Hauptachsen.


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Dieses Applet stellt wahlweise sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x), ex, 1/x, x², x³ oder x4 zusammen mit den ersten Termen der Taylor-Reihe um einen Entwicklungspunkt x0 in einer Grafik dar. Eine zweite Grafik zeigt die Koeffizienten der berücksichtigten Potenzen. Der Entwicklungspunkt x0 und die höchste berücksichtigte Potenz n sind einstellbar.

Das Applet soll zeigen, dass: ex

  • die Taylor-Entwicklung bis zur ersten Potenz die Tangente im Entwicklungspunkt x0 ergibt
  • die Taylor-Entwicklung eine umso bessere Näherung ergibt, je kleiner |x-x0| ist und je mehr Potenzen berücksichtigt werden
  • die Taylor-Reihe für sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) und ex für beliebige x-Werte konvergiert, während sie für 1/x nur in einem bestimmten Bereich konvergiert; für x2, x3 und x4 endet die Taylor-Reihe nach der 2., 3. bzw. 4. Potenz.


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Interpolationspolynome sind Polynome, deren Graph exakt durch vorgegebene Punkte geht. Für n Punkte benötigt man im Allgemeinen ein Polynom des Grades (n–1).

Dieses Applet soll verdeutlichen, dass Interpolationspolynome zwar exakt die vorgegebenen Punkte enthalten, dass sie aber trotzdem nur eingeschränkt als Näherungsfunktionen geeignet sind, da sie zum Schwingen neigen. Mit zunehmender Anzahl der Punkte wird die Näherung manchmal sogar schlechter – insbesondere, wenn die Punkte weit auseinander liegen, ungleichmäßig verteilt sind und/oder zufällige Abweichungen enthalten. Eine Extrapolation ist auf keinen Fall zulässig.

Bis maximal 20 Punkte können wahlweise frei oder so vorgegeben werden, dass sie auf den Funktionen y=sin(x), y=ex oder y=x4–x3+2x2+x liegen.

In einer Grafik werden die vorgegebenen Punkte zusammen mit der vorgegebenen Funktion und dem Interpolationspolynom dargestellt, in einer zweiten Grafik die Koeffizienten des Interpolationspolynoms. Die Punkte können auch nachträglich verschoben, hinzugefügt oder gelöscht werden.


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Periodische Funktionen können als Summe harmonischer Funktionen dargestellt werden – der Fourier-Entwicklung. Anhand ausgewählter Funktionen demonstriert das Applet die wichtigsten Eigenschaften.

Ziel des Applets ist es, anhand der Fourier-Reihen bzw. Fourier-Polynomen (der Abbruch der Summe nach einer endlichen Anzahl von Termen ergibt eine Näherung) für ausgewählte Funktionen y(t) folgende Eigenschaften zu illustrieren:

  • Je mehr harmonische Schwingungen berücksichtigt werden, desto besser ist die Näherung.
  • Die Entwicklung von Funktionen mit Sprungstellen konvergiert langsamer als ohne Sprungstellen.
  • Bei Sprungstellen überschießt das Fourier-Polynom um ca. 9% der Sprunghöhe (Gibbs), unabhängig von der Anzahl der Terme.
  • Gerade Funktionen haben nur Cosinusterme, ungerade nur Sinusterme, ohne Symmetrie beide.
  • In der Betrag- und Phasen-Darstellung verändert eine Zeitverschiebung nur die Phasen, aber nicht die Beträge.
  • Je länger die Periode ist, desto kleiner ist die Grundfrequenz.


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Eine Differentialgleichung 1. Ordnung y' = f(x,y) ordnet jedem Punkt der xy-Ebene, an dem f(x, y) definiert ist, eine Richtung (Steigung) zu. Das Richtungsfeld ist die grafische Darstellung dieser Richtungen an ausgewählten Rasterpunkten.

Am Richtungsfeld kann man das qualitative Verhalten der Lösungen der Differentialgleichung erkennen. Ausgehend von einem Anfangspunkt läuft die Lösung immer in die vom Richtungsfeld vorgegebene Richtung. Insgesamt erhält man so die spezielle Lösung der Differentialgleichung für diesen Anfangspunkt. Die allgemeine Lösung ist die Menge aller Lösungskurven – eine Kurvenschar.

Das Applet stellt das Richtungsfeld für ausgewählte Differentialgleichungen dar. Um ein Gefühl für die allgemeine Lösung zu geben, können einige typische Lösungen eingetragen werden. Außerdem kann die spezielle Lösung durch einen beliebigen Punkt dargestellt werden. Dieser Punkt (und damit die Lösung) kann mit der Maus verschoben werden.


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Ziel des Applets ist es, die physikalischen Zusammenhänge beim schiefen Wurf (ohne Luftreibung) zu illustrieren. Es zeigt, wie die Wurfparabel entsteht. Abwurfwinkel, Abwurfhöhe und Abwurfgeschwindigkeit (=Anfangsgeschwindigkeit) können mit Schiebern verändert werden. Die Fallbeschleunigung von verschiedenen Planeten und vom Mond kann eingestellt werden.

Mathematisch gesehen, kann man die x- und y-Koordinate als Funktionen der Zeit betrachten oder y gegen x auftragen – ein weiteres Beispiel für eine Parameterdarstellung (vgl. Applet Parameterdarstellung) – im Applet können Sie zwischen den Darstellungen hin- und herschalten und als Bindeglied den zeitlichen Verlauf des Wurfs in der xy-Darstellung beobachten.

Die Geschwindigkeit in x- bzw. y-Richtung ist mathematisch gesehen die Ableitung der x- bzw. y-Koordinate nach der Zeit – eine Anwendung der Ableitung (vgl. Applet Grundfunktionen und ihre Ableitungen). Umgekehrt sind die x- bzw. y-Koordinaten Integrale der Geschwindigkeiten mit vorgegebenen Anfangsbedingungen. Somit stellt dieses Applet ein Bindeglied zwischen verschiedenen Aspekten der Mathematik und ihren physikalischen Anwendungen dar.

In den Übungen finden Sie detaillierte Vorschläge.


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